Algèbre linéaire Exemples

[\begin{array}{c} 7 \\ 2 \\ 5 \end{array}] u + [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \end{array}] v + [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 8 \end{array}] w = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 7 \\ 2 \\ 5 \end{array}] u + [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \end{array}] v + [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 8 \end{array}] w = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Étape 1

La transformation définit un mappage de

ℝ^{0}

$ℝ^{0}$ à

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ . Pour prouver que la transformation est linéaire, elle doit conserver la multiplication scalaire, l’addition et le vecteur zéro.

M :

ℝ^{0} \to ℝ^{3}

$ℝ^{0} \to ℝ^{3}$

Étape 2

Commencez par prouver que la transformée préserve cette propriété.

M (x + y) = M (x) + M (y)

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Étape 3

Définissez deux matrices pour tester si la propriété d’addition est préservée pour

M

$M$ .

Étape 4

Ajoutez les deux matrices.

M

$M$

Étape 5

Appliquez la transformation au vecteur.

M (x + y) = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Étape 6

Séparez le résultat en deux matrices en regroupant les variables.

M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 7

Comme la propriété d’addition de transformation n’est pas respectée, ce n’est pas une transformation linéaire.

M (x + y) \neq M (x) + M (y)

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$